追上那只乌龟 / ZENO’S PARADOX

还差一点。
那就再靠近一点。

刚跑到乌龟待过的地方,它又往前了一点。
把注意力留给这段越来越小的距离。

ALWAYS A LITTLE CLOSER起点 · 第 0 段
还差10.00 m兔子与乌龟的当前间距
第 1 段已用0.00 s本段共 1.00 s
从上一条线,跑到下一条线
此前累计本段新增
累计用时0.00 s+0.00 s
累计跑过0.00 m+0.00 m

累计 = 此前各段 + 本段新增,读数已四舍五入;慢放时长不等于模型用时

每一段之后,都还有下一段

边追近,边放大 · 脚步不停
越来越小的间距两只动物连续向前,镜头同时平滑放大地面,屏幕上的间距仍然逐渐缩小。紫色与绿色标记表示精确位置,插画在间距外侧逐渐缩小并过渡为持久的小点。插画大小是示意,不代表真实动物体积。 10 m 它刚才的位置 标尺
米的尺度镜头 ×1

先跑到乌龟现在的位置。到那里时,它会在哪儿?

连续慢放与放大同时进行;插画逐渐缩成位置点,不代表动物体积。

准备好了,试着再靠近一点。

看看解释现实中会追上吗?
THE MISSING PIECE

没有最后一段,
也可以有相遇的时刻。

当兔子更快、乌龟也在向前走且有初始领先时,每次都追到乌龟的旧位置,这些有限编号的时刻就一直在相遇之前。但兔子并没有照着编号停下、等待。分段是我们的观察方法,运动和时间本身仍然连续。

默认设置里,选中的时刻是 1、1.1、1.11……秒,越来越接近 10/9 秒。相遇是它们的极限,不是某张“最后的截图”。到 1.2 秒,兔子已经跑在前面。

上一完整段用时尚未开始
累计模型时间0 s
距相遇还需≈ 1.111111 s
相遇发生在10/9 s

≈ 1.111111… 秒 · 100/9 米处

两种观察,同一段时间

有限步骤越来越靠近相遇线
截图序列与完整时间轴上方标出每一张选定截图的时刻,下方是可以穿过相遇时刻的连续时间。截图时刻越来越密,但不会覆盖相遇之后。 选定的截图完整的时间 相遇 t* 0 s1.5 s →

把相遇直接算出来

领先距离为 L,兔速为 a,龟速为 b。两者位置是 x兔 = at、x龟 = L + bt。若 L > 0 且 a > b,相遇时刻 t* = L / (a − b)。

当 0 < b < a,令 q = b/a,第 n 段后的间距为 Lqⁿ,距相遇还需 t*qⁿ。每个有限 n 的余量都大于零,但它们的极限是零。

这个画面有哪些约定?

追赶和镜头放大连续发生,经过一个旧位置时不会为放大而停步。模型时间不断前进,但慢放倍数逐渐增加,让越来越短的下一段仍然看得清。位置、格线和旧位置使用同一套投影;插画另用平滑缩小的示意尺寸,最后保留成位置点。屏幕间距采用连续压缩尺度,实际间距请看数字与标尺。动画播放时长不等于真实用时;持续展示相遇之前的区间,不表示真实赛跑永远追不上。微小距离是理想连续模型的数学延伸。

页面最多展示 200 个有限步骤。微小余量用对数独立计算;累计时间即使四舍五入到相遇时刻,也不表示这一步真的追上。

L = 0 时起点已相遇;乌龟静止且兔子向前时第一段追上;兔子不比乌龟快时,正的领先距离不会收敛到零。